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排列組合方法
排列組合方法1
一、排列組合部分是中學數(shù)學中的難點之一，原因在于
(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學模型，需要較強的抽象思維能力；
(2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯(lián)詞和量詞)準確理解；
(3)計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；
(4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。
二、兩個基本計數(shù)原理及應用
(1)加法原理和分類計數(shù)法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計數(shù)法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同
[例題分析]排列組合思維方法選講
1．首先明確任務的意義
例1.從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有________個。
分析：首先要把復雜的生活背景或其它數(shù)學背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。
設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c,可知b由a,c決定，又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。
例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對實際背景的分析可以逐層深入
�。ㄒ唬⿵腗到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。
�。ㄈ┦聦嵣�，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。
從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，∴本題答案為：=56。
2．注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合
例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。
分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇；
第二類：A在第二壟，B有2種選擇；
第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應分步解決。
�。ㄒ唬⿵�6雙中選出一雙同色的手套，有種方法；
�。ǘ⿵氖Ｏ碌氖皇痔字腥芜x一只，有種方法。
�。ㄈ⿵某八婕暗膬呻p手套之外的八只手套中任選一只，有種方法；
（四）由于選取與順序無關，因而（二）（三）中的選法重復一次，因而共240種。
例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。
分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有=90種。
例6．在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工�，F(xiàn)從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法?
分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統(tǒng)一。
以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。
第一類：這兩個人都去當鉗工，有種；
第二類：這兩人有一個去當鉗工，有種；
第三類：這兩人都不去當鉗工，有種。
因而共有185種。
例7．現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)?
分析：有同學認為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。
抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法；
抽出的三數(shù)含0不含9，有種方法；
抽出的三數(shù)含9不含0，有種方法；
抽出的三數(shù)不含9也不含0，有種方法。
又因為數(shù)字9可以當6用，因此共有2×(+)++=144種方法。
例8．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。
分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。
3．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有種站法。
第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有種站法，共+種站法。
�。�2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。
第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。
第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。
第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。
共+2+=312種。
例10．對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次測試的有種可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有種可能。
∴共有種可能。
4．捆綁與插空
例11. 8人排成一隊
(1)甲乙必須相鄰(2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
分析：（1）有種方法。
�。�2）有種方法。
�。�3）有種方法。
（4）有種方法。
�。�5）本題不能用插空法，不能連續(xù)進行插空。
用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。
例12.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?
分析：∵連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即。
例13.馬路上有編號為l，2，3，……，10十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種?
分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
∴共=20種方法。
4．間接計數(shù)法.(1)排除法
例14.三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。
所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-共線三點的方法數(shù)，∴共種。
例15．正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?
分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)，∴共-12=70-12=58個。
例16. l，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)?
分析：由于底數(shù)不能為1。
�。�1）當1選上時，1必為真數(shù)，∴有一種情況。
�。�2）當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53個。
(3)補上一個階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題
例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法?如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實際上，甲在乙的'前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。
（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復了種，∴共=120種。
例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。
例19.三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
分析：先認為三個紅球互不相同，共種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。
5．擋板的使用
例20．10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共36種。
6．注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。
例21.從0，l，2，……，9中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)?
分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。
�。ㄒ唬﹥蓚�選出的偶數(shù)含0，則有種。
�。ǘ﹥蓚�選出的偶數(shù)字不含0，則有種。
例22.電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。
�。ǘ┻x擇10層中的四層下樓有種。
∴共有種。
例23.用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，(1)可組成多少個不同的四位數(shù)?
(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù)?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數(shù)?
(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項是什么?
分析：（1）有個。
�。�2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。
∴共+種。
�。�3）先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×( )+=96種。
�。�4）首位為1的有=60個。
前兩位為20的有=12個。
前兩位為21的有=12個。
因而第85項是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。
7．分組問題
例24. 6本不同的書
(1)分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?
(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？
(3)分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？
(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?
(5)分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?
分析：（1）有中。
（2）即在（1）的基礎上除去順序，有種。
�。�3）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。
（4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。
�。�5）有種。
例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。
分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。
第一類：平均分成3人一組，有種方法。
第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。
（二）再考慮分別上兩輛不同的車。
綜合（一）（二），有種。
例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有________種.
分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。
�。ǘ┰倏紤]分配到四個不同的科技小組，有種，由（一）（二）可知，共=240種。
排列組合方法2
1.元素分析法
【例】求7人站一隊，甲必須站在當中的不同站法。
【解析】要求甲必須站在當中，因此只需對其它6人全排列即可，不同的站法共有幾種。
2.位置分析法
【例】求7人站一隊，甲、乙都不能站在兩端的不同站法。
【解析】先站在兩端的位置有幾種站法，再站其它位置有幾種站法，因此所有不同的站法共有幾種站法。
3.間接法
【例】求7人站一隊，甲、乙不都站兩端的不同站法。
【解析】考慮對立事件為甲乙都站在兩端，共有幾種站法;7人站成一隊所有的'站法共幾種，所以甲乙不都站兩端的不同站法共幾種。
4.捆綁法
【例】求7人站一隊，甲、乙、丙三人都相鄰的不同站法。
【解析】先將甲、乙、丙看成一個人，即相當于5個人站成一隊，有幾種站法，再對這三個人全排列即得所有的不同站法共幾種。
5.插空法
【例】求7人站一隊，甲、乙兩人不相鄰的不同站法。
【解析】先將其它五人全排列，然后將甲、乙兩人插入所產(chǎn)生的6個空中即可，共幾種不同的站法。
6.留出空位法
【例】求7人站一隊，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的順序一定，因此只要其余4人站好，這7個人就站好了，不同的站法共有幾種。
7.單排法
【例】求9個人站三隊，每排3人的不同站法。
【解析】由于對人和對位置都無任何的要求，因此，相當于9個人站成一排，不同的站法顯然共有幾種。
排列組合方法3
1.特殊定位法
排列組合問題中，有些元素有特殊的要求，如甲必須入選或甲必須排第一位；或者有些位置有特殊的元素要求，如第一位只能站甲或乙。此時，應該優(yōu)先考慮特殊元素或者特殊位置，確定它們的選法。
2.反面考慮法
有些題目所給的特殊條件較多或者較為復雜，直接考慮需要分許多類，而它的反面卻往往只有一種或者兩種情況，此時我們先求出反面的情況，然后將總情況數(shù)減去反面情況數(shù)就可以了。
例題： 從6名男生、5名女生中任選4人參加競賽，要求男女至少各1名，有多少種不同選法？
A．240 B.310 C.720 D.1080
4.歸一法
排列問題中，有些元素之間的排列順序“已經(jīng)固定”，這時候可以先將這些元素與其他元素進行排列，再除以這些元素的全排列數(shù)，即得到滿足條件的排列數(shù)。
例題： 一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添進去2個新節(jié)目，有多少種安排方法？
A.20 B.12 C.6 D.4
解析：此題答案為A。
方法一：“添進去2個新節(jié)目”后，共有5個節(jié)目，因此，此題相當于“安排5個節(jié)目，其中3個節(jié)目相對順序確定，有多少種方法？”
由于“3個節(jié)目相對順序確定”，可以直接采用歸一法。
方法二：也可以用插空法，即將2個新節(jié)目插入原來3個節(jié)目和兩端之間形成的空處。需要注意的.是，由于插入的2個新節(jié)目可以相鄰，所以應逐一插入。
將第一個新節(jié)目插入原有3個節(jié)目和兩端之間形成的4個空處，有4種選擇；這時，4個節(jié)目形成5個空，再將第二個新節(jié)目插入，有5種選擇。
根據(jù)乘法原理，安排方法共有4×5=20種。
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